Chifoumi, suite - Corrigé

Suite de l'exercice Chifoumi de la collection Chaînes de Markov

Énoncé

Hugo et Julia jouent au jeu de Chifoumi (Pierre - Feuille - Ciseaux). Julia a observé que :

• si Hugo a joué Pierre à un tour, au tour suivant il joue encore Pierre avec une probabilité de 0,2, Feuille avec une probabilité de 0,5 et Ciseaux avec une probabilité de 0,3 ;
  
• si Hugo a joué Feuille à un tour, au tour suivant il joue Pierre avec une probabilité de 0,5, encore Feuille avec une probabilité de 0,1 et Ciseaux avec une probabilité de 0,4 ;
  
• si Hugo a joué Ciseaux à un tour, au tour suivant il joue Pierre avec une probabilité de 0,4, Feuille avec une probabilité de 0,4 et encore Ciseaux avec une probabilité de 0,2.
  

Au premier tour Hugo a joué Pierre. On rappelle que le jeu d'Hugo peut être modélisé par une chaîne de Markov  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  avec  \(X_1=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\)  et la matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}0,2&0,5&0,3\\0,5&0,1&0,4\\0,4&0,4&0,2\end{pmatrix}\)  en prenant les sommets dans l'ordre Pierre - Feuille - Ciseaux.

1. Justifier qu'il existe une unique distribution invariante  \(X\)  et que la suite  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  converge vers  \(X\) . Déterminer  \(X\) .

2. Que doit jouer Julia pour avoir un maximum de chances de gagner sur le long terme (en supposant que son jeu n'influence pas celui d'Hugo) ?

3. Pour essayer de surprendre Julia, Hugo décide de commencer de jouer le premier tour au hasard. Que vaut alors  \(X_1\)  ? Cela a-t-il un impact sur la distribution à long terme ? 

Solution

1. La matrice de transition  \(T\)  n'a aucun coefficient nul, donc on sait qu'il existe une distribution invariante unique \(X=\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\)  et que la suite  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  converge vers  \(X\) .
On peut la déterminer en résolvant le système :  \(\begin{cases}XT=X\\a+b+c=1, a\in [0 ; 1], b\in [0 ; 1], c\in [0 ; 1]\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}0,2a+0,5b+0,4c=a\\0,5a+0,1b+0,4c=b\\0,3a+0,4b+0,2c=c\\a+b+c=1, a\in [0 ; 1], b\in [0 ; 1], c\in [0 ; 1]\end{cases}\)
On trouve  \(X=\begin{pmatrix}\dfrac{56}{155}&\dfrac{52}{155}&\dfrac{47}{155}\end{pmatrix}≈\begin{pmatrix}0,361&0,336&0,303\end{pmatrix}\) .

2. Sur le long terme, Hugo joue donc plus souvent Pierre, Julia a donc intérêt à jouer Feuille pour gagner.

3. La distribution de départ n'a aucun impact sur la distribution invariante, donc changer seulement son jeu au premier tour ne permettra pas à Hugo de surprendre Julia pour gagner. Il faudrait qu'il change sa stratégie d'un tour à l'autre.